A Fermat-sejtésre a professzor 5 évet és 1 millió fontot kapott — a Claude 11 nap alatt végzett

Kevin Buzzard, az Imperial College London matematikusa 2024-ben egymillió font támogatást kapott az Egyesült Királyság kutatási ügynökségétől arra, hogy öt év alatt formalizálja a Fermat-sejtés bizonyítását. 2026. szeptember 4-én, egy walesi zenei fesztiválról hazatérve, ezer olvasatlan e-mail között találta meg az üzenetet, amelyben az Anthropic közölte: megcsinálták. Tizenegy nap alatt.

Buzzard blogbejegyzésének címe önmagában is elárulja a hangulatot: „FLT: Anthropic has beaten me to it" — vagyis „az Anthropic megelőzött". Ebben a cikkben végigvesszük, mi történt pontosan, mit jelent és mit nem jelent az eredmény, mennyibe kerülhetett, és — ami egy magyar szoftvercéget a leginkább érdekel — mikortól lesz ez a technika olyan olcsó, hogy a saját kódodon is megérje használni.

Mit jelentett be az Anthropic 2026. szeptember 4-én?

Az Anthropic hivatalos közleménye szerint Tianyi Peng kutató — akinek a Columbia Egyetemen működő csoportja AI-alapú formalizáló eszközöket fejleszt — arra volt kíváncsi, hogy a Claude tud-e egyáltalán haladást elérni a Fermat-sejtés formalizálásában. Az eredmény messze túlment a várakozásán.

A számok a hivatalos közleményből:

Az emberi input mértékét jól jellemzi, hogy a közlemény szó szerint idézi Peng utasításait: „Jacobian as a scheme sounds high priority" („a Jacobi-sokaság mint séma prioritásnak tűnik") és „push [the] Mazur [theorem] to be done soon" („a Mazur-tételt told előre"). Nem lépésről lépésre vezetett munka volt, hanem célkitűzés és sorrendezés.

A Nature 2026. szeptember 7-i beszámolója teszi hozzá a legfontosabb viszonyítási pontot: a modell 11 nap alatt fejezett be egy olyan projektet, amelyre emberi tempóban 10 évet szántak.

Mit jelent az, hogy „géppel ellenőrzött bizonyítás"?

Egy matematikai bizonyítás emberi olvasónak készül. Kihagyja a nyilvánvaló lépéseket, épít arra, hogy az olvasó ismeri a szakterület évszázados eredményeit, és feltételezi a jóindulatú együttgondolkodást. Ez kényelmes — és pontosan ezért nehéz ellenőrizni.

A formális verifikáció ezt a kényelmet veszi el. Egy bizonyításellenőrző (proof assistant), például a Lean, nem fogad el semmit nyilvánvalóként. Minden logikai lépést ki kell írni, és a gép algoritmikusan végigfut rajta. Ha az utolsó láncszemig minden stimmel, a bizonyítás helyes — nem 99 százalékos valószínűséggel, hanem a rendszer axiómáin belül biztosan.

A Mathlib a Lean-közösség központi matematikai könyvtára: több száz matematikus évek alatt épített, formalizált eredménygyűjteménye. Minden új formalizálás erre épül — így nem kell mindig a nulláról kezdeni. A Claude bizonyítása több mint ötször akkora, mint maga a Mathlib.

Hogy miért nem elég az emberi ellenőrzés, arra az Anthropic saját közleménye hozza a legjobb példát. Wiles 1993 júniusában, három egymást követő előadáson mutatta be a bizonyítást. Két hónapnyi intenzív ellenőrzés után az egyik bíráló kérdése kritikus hiányosságot tárt fel. Wiles egy évig küzdött vele — előbb egyedül, majd egykori tanítványával, Richard Taylorral —, és már majdnem feladta, amikor rájött, hogy egy korábban elvetett megközelítés megjavítja a bizonyítást. A helyes változat végül 1995 májusában jelent meg.

Ez nem elszigetelt eset. Thomas Hales Kepler-sejtésre adott 1998-as bizonyítása négy évig volt bírálat alatt, mire egy tizenkét fős bizottság beérte a „99 százalékos bizonyossággal". Grigorij Perelman Poincaré-sejtésre adott bizonyításának elfogadásához a közösségnek nagyjából négy évre és három, egyenként 300 oldalas magyarázó dolgozatra volt szüksége.

Hogyan dolgozott a Claude-ügynökök raja?

Az érdekes rész nem az, hogy sikerült — hanem az, hogy először nem sikerült.

Az Anthropic nyíltan leírja: a Claude első próbálkozásai elbuktak. Az ügynökök eleinte haladtak, aztán elveszítették a fonalat a projekt állapotáról, és abbahagyták az érdemi együttműködést. Ezek a kudarcba fulladt kísérletek a végső bizonyítás nem sablonos sorainak nagyjából 7 százalékát adták — vagyis nem voltak teljesen hiábavalók, de önmagukban nem vezettek célhoz.

A fordulópont nem egy okosabb modell volt, hanem egy koordinációs réteg: a Prove2Me, a Peng és columbiai munkatársai által épített nyílt platform. Ez három dolgot oldott meg:

• Irányított körmentes gráf (DAG) a tételállításokból. Az ügynökök ebből döntötték el, melyik bizonyítást érdemes következőnek megtámadni. Ez csökkentette a kontextusvesztést, és lehetővé tette, hogy több ügynök egyszerre dolgozzon.
• Az állítások és a bizonyítások külön fájlba kerültek. Ez gyorsította a Lean-fordítást és csökkentette az erőforrás-igényt — 13 millió sornál ez nem kozmetikai kérdés.
• Természetes nyelvű leírás minden tételállításhoz. Ettől lett kereshető és újrafelhasználható a már elvégzett munka, ami rövidebb bizonyítási útvonalakat eredményezett.

Ez a tanulság közvetlenül átültethető a többügynökös AI-rendszerek építésére: több tucat párhuzamos ügynöknél nem a modell képessége a szűk keresztmetszet, hanem az, hogy van-e megosztott, gépi olvasásra alkalmas állapotuk. Egy közös feladatgráf és a részeredmények kereshetősége többet ér, mint egy erősebb modell koordináció nélkül.

A befejezés pillanatát a Claude saját gondolatmenete rögzítette, 2026. augusztus 18-án hajnali 2 óra 0 perc 57 másodperckor (UTC): „The FLT root reads PROVED on prove2me… Historic moment for this campaign."

Hogyan ellenőrizték, hogy a bizonyítás tényleg helyes?

Itt válik el a demó a mérnöki eredménytől. Az Anthropic három, egymástól független ellenőrzési lépcsőt írt le, és Buzzard ezek közül kettőt maga is lefuttatott.

1. Lean-fordítás három szabványos axiómával. A kész bizonyítás csak a Lean matematikájának három alapaxiómáját használja (propext, Classical.choice, Quot.sound) — pontosan azt a hármat, amire maga a Mathlib is épül. Semmilyen további feltevés nincs benne, és nincs benne sorry sem, vagyis bizonyítatlanul hagyott helykitöltő.
2. Comparator. Egy külön eszköz ellenőrizte, hogy a bizonyított állítás pontosan a Mathlib saját Fermat-sejtés-definíciója — nem egy hasonló, de gyengébb változat. Ez a lépés zárja ki a legkellemetlenebb hibalehetőséget: hogy a gép valami mást bizonyított be, mint amit hirdet.
3. Független második kernel. A nyilvános GitHub-tárolóban szereplő leírás szerint a nanoda — a Lean magjának Rust nyelvű, önálló újraimplementációja — több mint egymillió deklarációt fogadott el hibátlanul az exportált környezetből.

Buzzard a saját blogján számol be arról, hogy lefordította a kódbázist és lefuttatta rajta a comparatort: „it checks out" — stimmel. A méretekről is ír: a bizonyítás nála 13,4 millió sor, és közel hússzor annyi ideig fordul, mint a Lean teljes matematikai könyvtára — egy 96 magos gépen. Az Anthropic 500 GB memóriájú gépet is adott alá, és a böngészőben olvasható HTML-változatot is mellékelte, mert a Lean ekkora tárolóban már nehézkesen kezelhető.

Mit NEM jelent ez az eredmény?

Három dolgot érdemes tisztán látni, mielőtt bárki „az AI megoldotta a Fermat-sejtést" címmel osztja meg.

1. Nem új matematika

A Claude nem fedezett fel semmit. Wiles és Taylor bizonyítását formalizálta, méghozzá a Darmon–Diamond–Taylor-féle, 1995-ös egyszerűsített kifejtés alapján. Buzzard ezt a maga módján fogalmazza meg: „mathematically this work of anthropic tells us essentially nothing" — vagyis matematikai értelemben az Anthropic munkája lényegében semmit nem mond nekünk. Ő maga 99,9 százalékig biztos volt a bizonyítás helyességében, a számelméleti közösség többsége pedig száz százalékig.

2. A bizonyítás önmagában nem fedi le az összes esetet

Ez az a részlet, amit a legtöbb beszámoló kihagy. Buzzard blogja szerint az Anthropic tárolója Mazur munkájából annyit dolgoz ki, amennyi ahhoz kell, hogy kizárja: egy Frey-görbének p ≥ 17 rendű pontja legyen. Ez azt jelenti, hogy a formalizált bizonyítás csak a 17-nél nem kisebb prímkitevőkre működik.

A kimaradó eseteket egy korábbi, emberi közösségi munka fedi le: Best, Birkbeck, Brasca, Rodriguez, van der Velde és Yang már korábban formalizálta a tételt a páratlan reguláris prímekre, a legkisebb irreguláris prím pedig a 37. A két eredmény együtt lefedi a teljes tartományt — Buzzard szavaival: „so it's all good".

Vagyis az AI nem üres lapra dolgozott. A Lean, a Mathlib, az Imperial College FLT-projektje és a korábbi közösségi formalizálások mind ott voltak alatta. A gép a meglévő emberi infrastruktúrát skálázta fel — nem helyettesítette.

3. A 13 millió sort ember már nem olvassa el

Ha egy bizonyítás géppel ellenőrizhető, de emberileg átláthatatlan, akkor a bizalom átkerül a gépre és az ellenőrző eszközlánc helyességére. Éppen ezért lényeges a fenti háromlépcsős ellenőrzés, és éppen ezért ír Buzzard arról, hogy az EPSRC-projektjének van olyan vállalása, amit ez az eredmény nem teljesít: egy dinamikus dokumentum, amelyben ember is végig tudja követni a modern bizonyítást.

Mennyibe kerülhetett? — saját kalkuláció

Az Anthropic nem közölt költséget. Egy nagyságrendi becslést viszont a saját, nyilvános adataikból is össze lehet rakni — az alábbi tehát a mi számításunk, nem hivatalos adat.

A közlemény szerint a futás nagyjából 6 milliárd kimeneti tokent fogyasztott egy olyan belső modellből, amely „nagyjából a Claude Fable 5.1-gyel összemérhető". A Fable 5.1 nyilvános listaára 50 dollár millió kimeneti tokenenként. Ebből:

Ez a szám alsó becslés, és több okból is óvatosan kezelendő. Nem tartalmazza a bemeneti tokeneket, a Lean-fordításokhoz szükséges gépidőt (emlékeztetőül: hússzoros Mathlib-fordítás, 96 magon), a sikertelen korai kísérleteket, sem a kutatói munkaidőt. A belső modellnek ráadásul nincs listaára — az Anthropic a saját infrastruktúráján futtatta.

Az összehasonlítási alap viszont beszédes. Buzzard ötéves projektje egymillió font támogatást kapott. Ő maga így zárja a blogbejegyzését: „I was given £1M to run my project over 5 years; Anthropic took only 11 days but I do wonder if they spent more money…" — vagyis „egymillió fontot kaptam öt évre; az Anthropicnak elég volt tizenegy nap, de kíváncsi vagyok, nem költöttek-e többet".

Ez a mondat a lényeg. Nem az történt, hogy a formalizálás ingyenes lett. Az történt, hogy az idő és a pénz felcserélhetővé vált: ami korábban öt év szakértői munka volt, azt ma meg lehet venni tizenegy napnyi gépidőért. Egy vállalatnál pontosan ez a fajta csere szokott döntést hozni.

Miért érdekes ez egy magyar szoftvercégnek?

Mert a formális verifikáció nem matematikusok hobbija. Pontosan ugyanez a technika mondja meg, hogy egy szoftver bizonyíthatóan azt csinálja-e, amit a specifikációja állít.

A legismertebb ipari példa a seL4 operációs rendszermag. A hivatalos kutatási beszámoló szerint 8700 sor C kódhoz és 600 sor assemblyhez tartozik a világ egyik legerősebb helyességi bizonyítása — és ehhez a verifikáció első finomítási lépése önmagában nagyjából nyolc emberévet és 117 000 sor Isabelle/HOL bizonyításszkriptet igényelt. A biztonsági tulajdonságok bizonyítása további 40,7 hónapnyi munka volt, ami kódsoronként 78 dolláros ráfordítást jelentett.

Fordítsuk le: nyolc emberév 8700 sor kódra. Ez az az árszint, ami miatt a formális verifikáció eddig a repülésirányításban, a védelmi szektorban, a chiptervezésben és a kriptográfiában maradt — ott, ahol egy hiba emberéletbe vagy milliárdokba kerül. A DARPA összefoglalója szerint a kép most változik: az eszközök elérték azt a szintet, ahol „megfizethetően és használhatóan" alkalmazhatók szoftver- és hardvermérnökök által, és a felhasználás átterjedt a szűk, kritikus alkalmazásokról a nagyobb, üzletileg kritikus rendszerekre is.

A Fermat-eredmény ebbe a trendbe illik bele, csak sokkal élesebben: ha egy AI-ügynökraj tizenegy nap alatt fel tud építeni 13 millió sor géppel ellenőrzött bizonyítást, akkor a „ki írja meg a bizonyítást" kérdés — ami eddig a költség 90 százaléka volt — más nagyságrendbe kerül.

Az EU AI Act miatt ez nem elméleti kérdés

Az EU AI Act 15. cikke előírja, hogy a nagy kockázatú AI-rendszereknek „megfelelő szintű pontosságot, robusztusságot és kiberbiztonságot" kell elérniük, és ezt a teljes életciklusuk során konzisztensen tartaniuk kell. A pontossági mutatókat a használati utasításban is deklarálni kell. Ezek a kötelezettségek a III. melléklet szerinti nagy kockázatú rendszereknél 2027. december 2-től, az I. melléklet szerintieknél 2028. augusztus 2-től alkalmazandók.

Ha a szolgáltatásod besorolása nagy kockázatú lesz — például HR-szűrés, hitelbírálat, oktatási értékelés vagy kritikus infrastruktúra körül —, akkor a „teszteltük és működik" néhány éven belül nem lesz elég válasz. A részletekhez érdemes átnézni, mit kell tudnia az EU AI Act-ről egy magyar vállalkozónak, és az Omnibus-módosításról szóló elemzésünket, amely a határidőket is pontosítja.

Mikor éri meg formális verifikációval foglalkozni?

Az alábbi táblázat a saját szakmai értékelésünk, nem hivatkozott adat. Abból indul ki, hogy egy hiba mennyibe kerül, és mennyire jól specifikálható a helyes működés — a formális verifikáció ugyanis csak azt tudja bizonyítani, amit előre pontosan leírtál.

A gyakorlati tanulság rövidebben: ne a bizonyítással kezdd, hanem a specifikációval. Az a cég, amelyik ma le tudja írni gépi formában, mit jelent nála a „helyes működés", két-három év múlva egyetlen gombnyomásra lesz attól, hogy ezt bizonyíttassa is. Amelyik nem, annak akkor is a nulláról kell kezdenie.

Mit mondanak a matematikusok?

Az eredmény fogadtatása a szakmában feltűnően egységes volt — és nem a szokásos udvarias elismerés.

„The fact that a machine could turn the work of human mathematicians into a 13-million-line-long, ironclad proof just completely blew my mind." — Alex Kontorovich, számelméleti kutató, Rutgers Egyetem (Nature)

„Az, hogy egy gép matematikusok munkáját 13 millió sornyi, vasbeton bizonyítássá alakítja, teljesen felrobbantotta az agyamat."

„If they can formalize Fermat's last theorem, they can probably formalize anything." — Daniel Litt, számelméleti kutató, Torontói Egyetem (Nature)

„Ha a Fermat-sejtést formalizálni tudják, akkor valószínűleg bármit tudnak formalizálni."

„If the automatic formalization of FLT is possible now, then we have taken a big step towards automatic formalization of the modern mathematical literature. […] The techniques will also enable us to rigorously check LLM-generated mathematics, which is currently typically an extremely costly human-led process." — Kevin Buzzard, Imperial College London (Anthropic)

„Ha a Fermat-sejtés automatikus formalizálása ma lehetséges, akkor nagy lépést tettünk a modern matematikai szakirodalom automatikus formalizálása felé. […] Ezek a technikák lehetővé teszik majd az LLM-ek által generált matematika szigorú ellenőrzését is, ami ma jellemzően rendkívül költséges, emberi vezetésű folyamat."

Buzzard a Nature-nek adott értékelésében a februári gömbpakolási eredményhez — Maryna Viazovska Fields-érmes munkájának formalizálásához — méri az újat, és azt mondja, ez „nagyjából egy nagyságrenddel nehezebb" volt. A gyorsulásról pedig ennyit fűz hozzá: „Two years ago, that was a fantasy" — „két éve ez még fantázia volt".

Mi jön ezután?

Az Anthropic közleményének legkevésbé látványos, de gyakorlatilag legfontosabb bekezdése egy melléktörténet. A kutatók három személyes Claude Max előfizetéssel, ugyanazon a Prove2Me platformon keresztül, három nap alatt formalizálták Vinogradov három prím tételét.

Ez az igazi jelzés. A Fermat-formalizálás token-igényes, ipari léptékű projekt volt. A Vinogradov-tétel viszont fogyasztói előfizetésekkel készült el — vagyis a közepes nehézségű formalizálás már ma sem tőkeigényes feladat. Ha egy egyetemi kutatócsoport három előfizetéssel képes rá, akkor egy tízfős magyar fejlesztőcsapat is képes lesz rá a saját, üzletileg kritikus moduljaira.

Aki követi a modellpiac mozgását, annak érdemes együtt olvasnia ezt a Claude Fable 5.1-ről és az OpenAI GPT-6 Astráról szóló elemzéseinkkel: mindkét gyártó a hosszú, önálló ügynök-munkamenetekre optimalizál, és a Fermat-projekt éppen azt mutatta meg, mire jó ez, ha van mellette rendes koordinációs réteg. Aki most ismerkedik az Anthropic eszközeivel, annak a Claude Designról szóló bemutatónk ad képet arról, mire használható a Claude a napi munkában. A másik oldalról pedig érdemes szem előtt tartani, hogy az önállóan dolgozó ügynökraj nem mindig ilyen jól viselkedik — a különbség itt a szigorúan zárt, gépileg ellenőrzött feladattér volt.

Gyakori kérdések

Melyiket csinálta a Claude: bebizonyította vagy formalizálta a Fermat-sejtést?

Formalizálta. A Fermat-sejtést Andrew Wiles bizonyította be 1995-ben, Richard Taylor közreműködésével. A Claude ezt a meglévő bizonyítást fordította le a Lean 4 nyelvre, olyan formába, amelyet a számítógép sorról sorra ellenőrizni tud. Ez formalizálás, nem felfedezés — a különbség lényeges, és maga Kevin Buzzard is hangsúlyozza, hogy matematikai értelemben az eredmény nem mond újat.

Hogyan lehet, hogy 11 nap alatt kész lett az, amire 10 évet szántak?

Nem a modell nyers sebessége miatt. A Nature beszámolója szerint a feladatot emberi tempóban 10 évesre becsülték, Kevin Buzzard EPSRC által finanszírozott projektje pedig 5 évre szólt, egymillió font támogatással. A gyorsulás kulcsa a párhuzamosítás és a koordináció volt: több tucat Claude-ügynök dolgozott egyszerre a Prove2Me platformon, amely közös feladatgráfban tartotta nyilván, melyik tétel készült el és melyik jön. Az első, koordináció nélküli kísérletek éppen ezért buktak el. A sikeres futás 2026. augusztus 7. és 18. között zajlott.

Mi az a formális verifikáció, és melyik cégnek éri meg?

A formális verifikáció azt jelenti, hogy matematikai bizonyítással igazolod: a program pontosan azt csinálja, amit a specifikációja előír. Nem tesztelés — a tesztelés csak azt mutatja meg, hogy a kipróbált esetekben működik. Cégeknél ott van értelme, ahol egy hiba ára nagyon magas: kriptográfia, fizetési logika, orvostechnika, ipari vezérlés, repülés. A seL4 operációs rendszermag példáján látszik az eddigi ár: 8700 sor C kódhoz nagyjából nyolc emberévnyi bizonyítási munka tartozott.

Melyik esetekre működik a Claude formalizált bizonyítása?

A 17-nél nem kisebb prímkitevőkre — és ez fontos árnyalás. Kevin Buzzard leírása szerint az Anthropic formalizált bizonyítása a 17-nél nem kisebb prímkitevőkre érvényes. A kimaradó eseteket egy korábbi, emberi közösségi formalizálás fedi le a páratlan reguláris prímekre — mivel a legkisebb irreguláris prím a 37, a két eredmény együtt a teljes tartományt lefedi. A gépi munka tehát a meglévő emberi eredményekre épült rá, nem helyettesítette azokat.

Mennyibe kerülhetett a Claude Fermat-formalizálása?

Az Anthropic nem közölt költséget. A saját becslésünk szerint a nagyjából 6 milliárd kimeneti token a Claude Fable 5.1 listaárán (50 dollár / millió kimeneti token) körülbelül 300 000 dollár, vagyis 315 forintos árfolyamon nagyjából 94,5 millió forint. Ez alsó becslés: nem tartalmazza a bemeneti tokeneket, a Lean-fordítás gépidejét, a sikertelen kísérleteket és a kutatói munkát, a belső modellnek pedig nincs nyilvános listaára.

Hogyan kezdhet ezzel egy magyar fejlesztőcég?

Nem a modellel, hanem a specifikációval. Az Anthropic közleménye szerint a kutatók három személyes Claude Max előfizetéssel, három nap alatt formalizálták Vinogradov három prím tételét ugyanazon a Prove2Me platformon. Vagyis a közepes nehézségű formalizálás már fogyasztói előfizetésekkel is elérhető. A gyakorlati belépő nem az AI, hanem a specifikáció: először azt kell géppel értelmezhető formában leírni, mit jelent a rendszeredben a helyes működés.

Összegzés

A Fermat-formalizálás nem matematikai áttörés — Buzzard maga mondja, hogy matematikai értelemben lényegében semmit nem mond újat. Mérnöki értelemben viszont annál többet: 13 millió sor géppel ellenőrzött bizonyítás, három független ellenőrzési lépcsőn átvive, tizenegy nap alatt, egy olyan feladatra, amit tíz évre terveztek.

Az üzenet egy szoftvercégnek nem az, hogy holnaptól bizonyítania kellene a kódját. Hanem az, hogy a szoftverhelyesség legdrágább szintje — amit eddig csak a repülőgép-ipar és a védelem engedhetett meg magának — most kezdett el olcsóbbá válni, méghozzá gyorsan. Az EU AI Act 15. cikkének 2027. decemberi határidejével együtt ez azt jelenti, hogy a „mérhetően, dokumentáltan helyes működés" kérdése két éven belül szerződéses feltétellé válhat olyan piacokon is, ahol ma még nem az.

Ha most azon gondolkodsz, hogy a saját rendszereidnél hol van a legdrágább hiba, és mit lehetne belőle mérhetővé tenni, ez pontosan az a kérdés, amivel érdemes elkezdeni. Foglalj egy 30 perces ingyenes konzultációt, és nézzük meg együtt, hol tart most a rendszered, és mi az a lépés, ami jövőre már számítani fog.